MARCO TEORICO

NÚMEROS RACIONALES.

El conjunto de los números racionales Q está formado por todos los números, en los cuales el numerador a es un número entero y el denominador b es un número distinto de cero.

a = numerador

b = denominador

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Dentro del conjunto de los Números Racionales podemos encontrarnos con:

v  Números Racionales Positivos: son aquellos que están representados por fracciones positivas. El conjunto de numero racionales positivos se designa con Q+

v  Números Racionales Negativos: son aquellos que están representados por fracciones negativas. El conjunto de números racionales negativos se designa con Q-

En el conjunto de los números racionales siempre podemos intercalar otro racional, esto se llama Densidad en Q. Para intercalar racionales usamos un método práctico:

1. se ordenan de mayor a mayor.

2.  se suman los numeradores y denominadores entre sí.

La fracción obtenida está entre las fracciones dadas, el proceso puede continuar infinitamente. Entre dos números racionales podemos intercalar un número infinito de racionales, entonces se puede decir que el conjunto Q es un conjunto denso.

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

Adición de Números Racionales:

Para sumar racionales de igual denominador se conserva el denominador común y se suman los numeradores.

Ejemplo:

3 + 1 + 4  =  8 =  1

8    8    8      8

Para sumar racionales de distinto denominador, se calcula el Mínimo Común Múltiplo entre los denominadores y se amplifica cada fracción para obtener otra equivalente y con denominador igual al Mínimo Común Múltiplo encontrado. Luego se calcula la suma de las fracciones con denominador común.

Ejemplo:

2  +  5  +  7   =   16  +  60  +  42  =  118

3      2      4          3  x  2 x  4            24

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

v  Clausurativa: la adición es una ley de composición interna en Q pues al sumar dos racionales, la suma siempre es un número racional.

v  Asociativa: si para sumar números racionales se agrupan usando paréntesis, sin cambiar el orden, la suma no se altera.

v  Elemento neutro: para los números racionales, el elemento neutro de la adición es el cero. Si usamos cero a cualquier racional, la suma será igual al racional considerado.

v  Elemento inverso aditivo: todo número racional, distinto de cero tiene un inverso aditivo  , tal que sumados dan el elemento neutro cero.

v  Conmutativa: si para sumar dos racionales, cambiamos el orden de los sumados, la suma no se altera.

NUMERO MIXTO:

Se llama número mixto a la suma de un número entero y un racional. En el numero mixto esta sobreentendido el signo de la suma, razón por la cual se prescinde de él.

Ejemplo:

Si se desea expresar el número mixto como racional, bastara con efectuar la suma indicada. Y si un número racional (con numerador mayor que el denominador) se quiere expresar como numero mixto, bastara con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

15  =   1 5           15 l 10

10         10              5      1

SUSTRACCIÓN DE RACIONALES:

La diferencia entre los dos números racionales se obtiene sumando al primer término (minuendo) en inverso aditivo del segundo término (sustraendo).

Ejemplo:

3    -   1 = ( 3 + (-1)) =  2

8        8          8            8

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: para calcular el producto de dos números racionales, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

Ejemplo:

3  x  2  =  (3 x 2 ) =   6  =  3

8      5      (8 x 5)      40     20

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

v  Clausurativa: la multiplicación es una ley de composición interna en Q, pues al multiplicar dos racionales, el producto siempre es un número racional.

v  Asociativa: si para multiplicar racionales, se agrupan en paréntesis sin cambiar el orden, el producto no se altera.

v  Elemento neutro multiplicativo: para los números racionales el elemento neutro de la multiplicación es el racional +1.

v  Elemento inverso multiplicativo: todo número racional " 0 tiene un inverso, tal que multiplicados entre si el producto es +1.

v  Conmutativa: si para multiplicar dos números racionales cambiamos el orden de los factores, el producto no se altera.

v  Propiedad multiplicativa o absorbente del cero: todo número racional multiplicado por el racional cero da como producto cero.

v  Distribuidad de la multiplicación respecto a la adición: el producto de un racional por una adición de racionales no se altera si multiplicamos el racional por el resultado de la adición o si multiplicamos independientemente el racional por cada sumando y luego sumamos los productos obtenidos.

DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES:
para dividir dos números racionales, multiplicamos el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El divisor debe ser distinto a cero.

POTENCIA DE UN NÚMERO RACIONAL: para hallar la potencia de un número racional se elevan a dicha potencia los dos términos de la fracción.

Ejemplo:

( 3)² =  (3 x 3) =  9 

(8)²      (8 x8)     64